Некоммутативные законы взаимности на алгебраических и арифметических поверхностях, случай ручного ветвления

Пусть $X$– нормальная алгебраическая поверхность определенная над совершенным полем $k$. По любому ненулевому элементу $b$ из поля рациональных функций поверхности $X$ и для любого целого $n$ больше $1$ я построю нетривиальное центральное расширение группы $GL(n)$ c коэффициентами из кольца аделей поверхности $X$. Ядром построенного центрального расширения является мультипликативная группа поля $k$. При ограничении построенного центрального расширения на локальные компоненты, то есть на группу $GL(n)$ с коэффициентами из двумерного локального поля, соответствующего точке и неприводимой кривой на поверхности $X$, получается центральное расширение, задаваемое символом из K-теории, который описывает куммерово расширение двумерного локального поля, получающееся присоединеним корня из элемента $b$ (согласно двумерной локальной теории полей классов в случае конечного поля $k$). Я докажу некоммутативные законы взаимности: расщепление построенных центральных расширений над подгруппами группы $GL(n)$, получающимися, если брать коэффициенты в матрицах из колец, связанных с произвольной точкой или с произвольной неприводимой проективной кривой на $X$. Я также расскажу в более простой ситуации, соответствующей неразветвленным расширением двумерных локальных полей, аналогичные конструкции и теоремы для арифметических поверхностей.