Бильярды в финслеровых нормах, гипотеза Малера и симплектические инварианты (по совместным работам с Шири Артштейн-Авидан, Яроном Островером, Алексеем Балицким и Арсением Акопяном)

Артштейн–Авидан и Островер в своих предыдущих работах установили замечательное соответствие между минимальной длиной замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле $K$, измеренной с помощью некоторой нормы, и симплектической ёмкостью Хофера–Цендера $c_{HZ}(K\times T)$, причём $T$ — единичный шар двойственной нормы. Это утверждение было использовано ими для разных оценок длины замкнутых бильярдных траекторий.
Мы начнём обсуждение с более элементарного аналога этого результата, в случае евклидовой нормы установленного Кароем и Даниэлом Бездеками, выражающего длину минимальной замкнутой бильярдной траектории (то есть $c_{HZ}(K\times T)$) через абсолютный минимум некоторого выражения. Такое описание позволяет дать гораздо более простые доказательства результатов Артштейн–Авидан и Островера.
Далее мы обсудим элементарные оценки снизу на длину замкнутой бильярдной траектории. Например, если $K$ — центрально симметричное выпуклое тело, а $T=K^\circ$ — полярное ему тело (единичный шар двойственной нормы), то $c_{HZ}(K\times T)\ge 4$. Если отказаться от условия центральной симметричности $K$, то точная оценка снизу выглядит как $c_{HZ}(K\times T)\ge 2+2/n$.
В симплектической геометрии известна гипотеза Клода Витербо, что объём выпуклого тела X в $\mathbf{R}^{2n}$ не менее $c_{HZ}(X)^n/n!$. Если она верна, то из нашей оценки для бильярда в центрально-симметричном теле мы сразу получим, что $\mathrm{vol} K\times K^\circ \ge 4^n/n!$ для любого центрально симметричного выпуклого тела в $\mathbf{R}^n$ и его полярного тела, а это оказывается классическая гипотеза Малера (1939). По этой гипотезе имеются результаты с худшей оценкой вида $\gamma^n/n!$ (теорема Бургэна–Мильмана, 1987), в которой константа $\gamma$ была приближена к $\pi$ для больших $n$ (Грег Куперберг, 2008), в точном виде гипотеза доказана самим Малером только для $n=2$ и открыта для $n\ge 3$. Однако, для тела, не являющегося центрально симметричным, результат о бильярде вместе с гипотезой Витербо даёт оценку на объём в несимметричной гипотезе Малера, которая хуже ожидаемой.