Построение стационарной метрики на иерархических графах и срезающий процесс (по совместной работе с М. Триестино и М. Христофоровым)

Возьмём риманово многообразие $(M,g)$ – например, сферу, или диск, или даже отрезок или окружность. После чего будем последовательно (конформно) возмущать метрику $g$ – рассматривая последовательность метрик $g_n=\exp(\xi_n) g_{n-1}$, $g_1=g$, умножая её на случайные множители, «осциллирующие» всё сильнее и сильнее. Естественно, что – если только сила возмущения в каждой конкретной точке не стремится к нулю – нет надежды, что последовательность таких метрик сойдётся к римановой метрике: для этого потребовалась бы сходимость суммы $\xi_1+\xi_2+\dotsb$. Однако в некоторых ситуациях можно надеяться, что последовательность обычных метрик, отвечающих римановым метрикам $g_n$, сходится почти наверное (как последовательность функций двух переменных).
Несмотря на странную, на первый взгляд, постановку вопроса, такая случайная метрика оказывается гипотетическим ответом во многих ситуациях. Одна из них – случайные плоские карты. Представим себе, что у нас есть очень много – $N$ – единичных квадратиков, которые мы случайным образом с сохранением ориентации склеиваем. Допустим, у нас получилась (топологическая) сфера. А какой у неё диаметр? И как будет распределена правильно отнормированная метрика?
Оказывается, что диаметр будет иметь порядок $N^{1/4}$ – а вовсе не $N^{1/2}$, как было бы, если бы сфера оставалась «разумно плоской»; и, как утверждает теорема, полученная независимо в 2011 году Ле Галлем и Мьермонтом, делённая на $N^{1/4}$ случайная метрика сходится по распределению к некоторому предельному закону. А гипотеза Дюплантье–Шеффилда утверждает, что эта метрика имеет вид $\exp(\sqrt{8/3}*\mathrm{GFF})\,|dx|$, где GFF – гауссово свободное поле: случайная обобщённая функция, "равная" сумме соответствующего (гауссова) ряда $\xi_1+\xi_2+\dotsb$, который не сходится в пространстве обычных функций – но зато сходится в пространстве обобщённых функций.
Я очень советую тем, кого заинтересовал предыдущий абзац – а у нас на него, увы, времени почти не будет – посмотреть (или хотя бы пролистать) замечательные слайды лекции Николя Курьяна на посвящённой этому встрече в IHES-е: http://www.math.ens.fr/~curien/Itzykson.pdf, а также слайды лекции Кристофа Гарбана на семинаре Бурбаки: http://perso.ens-lyon.fr/christophe.garban/Bourbaki.pdf.
Несмотря на всё вышесказанное – доказывать, что у вышеописанной последовательности метрик есть предел, почти никогда не умеют. Почти единственная строгая работа, в которой доказано существование предела, – это результат Беньямини–Шрамма (http://arxiv.org/abs/0806.1347) о таких произведениях («мультипликативных каскадах») на отрезке. (Есть также подход Дюплантье–Шеффилда, основанный на сходимости мер, но он не позволяет говорить именно о метриках.) Проблемой оказывается слишком большое богатство потенциальных геодезических.
В нашей работе (http://arxiv.org/abs/1310.6116) мы строго доказываем сходимость метрик в ситуации иерархических графов: конечно, всё ещё наследующей некоторые черты одномерности (заметно упрощающей технику), но уже обладающей несчётным семейством кандидатов в геодезические. Более того, мы надеемся, что наша техника может быть применена и в других ситуациях – в частности, она применима для модели с треугольником Серпинского, и мы хотели бы надеяться, что её получится довести до применимости и в случае GFF.
Приходите! Несмотря на обилие «страшных слов» выше, в ходе доклада большую часть времени мы будем использовать лишь меры на вещественной прямой, свёртки и функции одной переменной.