Аддитивные задачи со специальными слагаемыми

В докладе будет рассмотрена следующая тернарная аддитивная задача. Пусть $\alpha>1$ - фиксированное иррациональное число, и пусть $r_3(\alpha,N)$ равно количеству разбиений натурального числа $N$ на два бесквадратных слагаемых и слагаемое вида $[\alpha q]$, где $q$ также бесквадратное, т. е. количеству представлений числа $N$ в виде $q_1+q_2+[\alpha q_3]=N$, где $q_1,q_2,q_3$ - бесквадратные числа. Тогда при $N\to\infty$ для любого $\varepsilon>0$ справедлива асимптотическая формула
$$ r_{3}(\alpha,N)\,=\,\frac{1}{2\alpha}\biggr(\frac{6}{\pi^2}\biggl)^{\!3}N^{2}+O\bigl(N^{11/6+\varepsilon}\bigr) $$