Спиновые корреляции в модели Изинга на квадратной решетке: фермионная наблюдаемая и ортогональные полиномы на окружности. Лекция 1

Основная цель миникурса – рассказать о непосредственной связи спиновых корреляций в двумерной модели Изинга (не обязательно критической) на квадратной решетке и теории ортогональных полиномов на окружности. Тот факт, что «диагональные» спиновые корреляции во всей плоскости могут быть явно выражены через определители Теплица, был обнаружен B. Kauffman и L. Onsager'ом еще шестьдесят лет назад, дав новый толчок развитию теории ортогональных полиномов. Однако то обстоятельство, что соответствующие полиномы (точнее, все их коэффициенты) можно «увидеть» непосредственно в модели Изинга, просто суммируя веса некоторых конфигураций (конструкция, обобщающая предложенную С. Смирновым фермионную наблюдаемую), по всей видимости, не было замечено ранее. Более того, такой подход позволяет получать и некоторые новые явные формулы, например для магнетизации (мат. ожидание значения спина в конкретной точке) в «диагональной» полуплоскости (с постоянными граничными улосвиями). Миникурс основан на недавних (2012) совместных результатах с C. Hongler'ом. Предварительные знания, выходящие за рамки стандартных университетских курсов по мат. анализу и теории вероятностей, не предполагаются.