Families of abelian varieties with big monodromy

Let $K$ be a global field of characteristic different from $2$ and $u(x)$ be an irreducible polynomial over $K$ of even degree $2g>4$, whose Galois group over $K$ is either the full symmetric group or the alternating group. We describe explicitly how to choose (infinitely many) pairs of distinct elements $t_1, t_2$ of $K$ such that the $g$-dimensional jacobian of a hyperelliptic curve $y^2=(x-t_1)(x-t_2)) u(x)$ has no nontrivial endomorphisms over an algebraic closure of $K$ and has big monodromy.
Пусть $K$ - глобальное поле характеристики, отличной от двойки, а $u(x)$ - неприводимый многочлен над $K$ с четной степенью $2g>4$, группа Галуа которого либо полная симметрическая группа либо знакопереременная группа перестановок $2g$ элементов. Мы описываем явную процедуру, позволяющую выбрать (бесконечно много) пар $(t_1, t_2)$ различных элементов поля $K$ , таких, что $g$-мерный якобиан гиперэллиптической кривой $y^2=(x-t_1)(x-t_2)) u(x)$ не имеет нетривиальных эндоморфизмов над алгебраическим замыканием поля $K$ и имеет большую монодромию.