Кратности идеалов в локальных кольцах и ковыпуклые тела (по работе К. Каве и А. Г. Хованского)

В работах К. Каве (K.Kaveh), А. Г. Хованского и других исследователей за последние 5 лет были введены и исследованы тела Ньютона–Окунькова. Эти выпуклые тела связаны с полугруппами целочисленных векторов в выпуклых конусах и отражают асимптотику роста этих полугрупп. С помощью мультинормирований подобные полугруппы можно связать с широким классом градуированных алгебр. Соответствующие тела Ньютона-Окунькова отражают асимптотику роста функций Гильберта этих алгебр, и с их помощью можно вычислять степени проективных многообразий, индексы пересечения гиперповерхностей и их обобщения (см. доклад Е. Ромаскевич от 20.11.2013).
В препринте http://arxiv.org/abs/1302.2676 Каве и Хованский рассматривают локальный аналог этой теории. Пусть $(A, m)$ — нётерово локальное кольцо с полем вычетов $A/m=k$. Для каждого $m$-примарного идеала $a$ можно определить функцию Гильберта–Самюэля $H(a,n) = \mathrm{length}(A/a^n)$ (в случае, когда $A$ содержит $k$, длина $A$-модуля — это просто размерность над $k$). Известно, что при больших $n$ функция $H(a,n)$ ведёт себя как многочлен от $n$ степени $d = \dim A$ (размерность Крулля) со старшим коэффициентом $e(a)/d!$, где $e(a)$ — натуральное число, называемое кратностью идеала. Если $A$ — локальное кольцо точки на многообразии, а идеал $a$ порождён уравнениями гиперповерхностей, пересекающихся в этой точке, то $e(a)$ — это кратность данного решения системы уравнений (локальный индекс пересечения). Для широкого класса локальных колец с каждым примарным идеалом можно связать ковыпуклое тело, объём которого оказывается равным $e(a)/d!$. Это позволяет применять результаты ковыпуклой геометрии (см. доклад В. Тиморина от 02.10.2013) к исследованию кратностей идеалов. В частности, авторы получают короткое доказательство неравенства Брунна–Минковского для кратностей $e(ab)^{1/n} \le e(a)^{1/n}+e(b)^{1/n}$, принадлежащего Тессье и Рису–Шарпу.