Коммутаторы ранга 2 в $L^2$-пространствах на окружности

Если оператор $K=(\cdot, u_1)v_1-(\cdot, u_2)v_2$ ранга 2 в пространстве $L^2(\mu)$, где $\mu$ - сингулярная мера на окружности, представляется в виде коммутатора $K=XU-UX$ некоторого ограниченного оператора $X$ с оператором $U$ умножения на независимую переменную, то $\bar u_1 v_1=\bar u_2 v_2$, и возникает естественный вопрос об описании класса функций вида $f=\frac{v_1}{v_2}=\frac{\bar u_1}{\bar u_2}$, соответствующих коммутаторам. В докладе будет показано, что этот класс не совпадает с пространством $L^0(\mu)$. Изучение этого класса представляет интерес в связи с вопросом о том, всегда ли стремятся к нулю последовательности усреднённых разностей операторов вида $U_2^n X U_1^{-n}-U_2^{-n} X U_1^n$, где $U_1, U_2$ - унитарные операторы с сингулярными спектральными мерами, причём коммутатор $XU_1-U_2X$ предполагается малым. В настоящее время положительный ответ известен только для случая коммутаторов ранга не выше 2.