Предельные теоремы для повторяющихся игр с неполной информацией

Пусть $X=(X_n)_{n\geq 0}$ — мартингал со значениями в $[0,1]$ и неслучайным $X_0=z\in[0,1]$. Обозначим через через $M(z)$ множество всех таких мартингалов и рассмотрим так называемую максимальную $L^1$-вариацию
\begin{equation} \label{eqn} \psi_N(z)=\max_{X\in M(z)}\mathbb{E}\left(\sum_{n=0}^{N-1}|X_{n+1}-X_n|\right). \end{equation}
Эта величина является исторически первым примером мартингальных оптимизационных задач, возникающих при анализе повторяющихся игр большой продолжительности с неполной информацией у одного из игроков.
В докладе мы поясним связь максимальной вариации с повторяющимися играми (необходимые определения из теории игр будут даны) и двумя способами найдем асимптотику $\psi_N(z)$ при $N\to\infty$:

• из анализа предельных свойств уравнения Белмана — рекуррентного соотношения, связывающего $\psi_{N+1}$ и $\psi_N$ (подход J.-F. Mertens'а и S. Zamir'а [2]);
• на основе вероятностного метода, предложенного в работе B. De Meyer'а [1] и использующего вложение Скорохода.

Мы поговорим о предельном процессе $X$, отвечающем оптимизационной задаче (1) при большом $N$ и, если позволит время, об открытых вопросах.



[1] De Meyer B. The maximal variation of a bounded martingale and the central limit theorem// CORE Discussion Paper. 1996. No 96035
[2] Mertens J.-F., Zamir S. The maximal variation of a bounded martingale // Israel Journal of Mathematics. 1977. Vol.27. P.252-276.