Объемы в пространствах постоянной кривизны

Известно, что вычисление объемов тел в пространствах ненулевой постоянной кривизны представляет собой нетривиальную задачу, которой занимались многие выдающиеся математики и которая до настоящего времени остается интересным объектом геометрических исследований. Например, даже вопрос о нахождении объема тетраэдра является предметом публикаций вплоть до настоящего времени. Мы предлагаем новый простой подход, основанный на обобщении известной в евклидовом случае формулы для вычисления объема тела как потока поля радиус-векторов точек пространства через граничную поверхность тела. Представляя пространства постоянной кривизны произвольной размерности их моделями в шаре или полупространстве, мы сводим интеграл объема тела к интегралам по его поверхности, что позволяет формализовать процесс вычисления объема. В применении к многогранникам соответствующие интегралы по поверхности допускают дальнейшее снижение порядка интеграла. С использованием этого мы получаем простое доказательство знаменитой формулы Шлефли, связывающей дифференциал объема многогранника с дифференциалами его двугранных углов.