Аннотация:
В докладе представлены результаты исследования задачи Дирихле в ограниченной области c гладкой границей для общего линейного эллиптического уравнения второго порядка. Получены точные (по порядку роста) ограничения на рост вблизи границы рассматриваемой ограниченной области младших коэффициентов уравнения при которых решение из $W_{2,\textrm{loc}}^1$ (если оно существует) обладает свойством $(n-1)$-мерной непрерывности (принадлежит пространству Гущина), характеризующим поведение решения вблизи границы и описывающим, в каком смысле оно принимает свое граничное значение.
В терминах скалярного произведения в специальном гильбертовом пространстве получены необходимые и достаточные условия существования $(n-1)$-мерно непрерывного решения рассматриваемой задачи Дирихле и установлено, что условия разрешимости исследуемой задачи имеют вид, аналогичный условиям разрешимости в обычной обобщенной постановке (в $W_2^1$). В частности, доказано, что если однородная задача (с равными нулю граничной функцией и правой частью) не имеет ненулевых решений из пространства $W_2^1$, то для любой квадратично суммируемой граничной функции и любой правой части из соответствующего функционального пространства существует решение неоднородной задачи. Это решение принадлежит пространству Гущина $(n-1)$-мерно непрерывных функций и для него справедлива соответствующая оценка. При естественных дополнительных ограничениях на коэффициенты при младших членах уравнения, для правых частей из $W_2^{-1}$ полученные необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в $W_{2,\textrm{loc}}^1$-постановке записываются в более простом виде – в терминах исходной задачи. При этом доказано, что если граничная функция допускает принадлежащее продолжение в область, то $(n-1)$-мерное непрерывное решение является решением из $W_2^1$и в этом случае условия разрешимости задачи в $W_{2,\textrm{loc}}^1$-постановке являются также условиями разрешимости той же задачи в $W_2^1$-постановке.
Обратная связь: