О хопфовости $n$-периодических произведений групп

Понятие периодического произведения периода $n$ для данного семейства групп $\{G_i\}_{i\in I}$ (обозначается через $\prod\limits_{i\in I}{^n}G_i$), было введено первым из авторов настоящей заметки в 1976 году. Тем самым была решена известная проблема А.И.Мальцева о существовании операции умножения групп, отличной от классических операций свободного и прямого произведений и удовлетворяющей всем известным свойствам этих операций, включая и так называемое свойство наследстенности по подгруппам. Последнее свойство в связи с этой проблемой Мальцева получило название постулат Мальцева.
Нормальная подгруппа $N_H$ подгруппы $H$ данной группы $G$ называется наследуемо нормальной, если найдется такая нормальная подгруппа $N_G$ группы $G$, что $N_H=N_G\cap H$. Авторами доказано, что подгруппа $N_{G_i}$ множителя $G_i$ $n$-периодического произведения $G=\prod\limits_{i\in I}{^n}G_i$ c нетривиальными компонентами, является наследуемо нормальной подгруппой в том и только том случае, если она содержит подгруппу $G_i^n$.
Также доказывается, что при нечетных $n\ge665$ любая нетривиальная нормальная подгруппа $n$-периодического произведения $G=\prod\limits_{i\in I}{^n}G_i$ содержит подгруппу $G^n$. Отсюда следует, что если при этом хотя бы в одной из компонент $n$-периодического произведения $G=G_1\mathop\ast\limits^nG_2$ не выполняется тождество $x^n=1$, то группа $G$ является хопфовой, т.е. она не изоморфна никакой своей собственной факторгруппе. Это позволяет строить примеры не простых и не финитно аппроксимируемых хопфовых групп ограниченного периода.