Шунты для прямоугольных диаграмм. Доказательство гипотезы Джонса и связанные вопросы

Работа выполнена совместно с М. В. Прасоловым (МГУ им. М. В. Ломоносова). В терминах лежандровых узлов найден критерий упрощаемости прямоугольной диаграммы зацепления. Доказана гипотеза В. Джонса об инвариантности алгебраического числа пересечений минимальной косы, представляющей зацепление. Найдено более простое доказательство теоремы И. Дынникова о монотонном упрощении прямоугольных диаграмм тривиального узла.
Описание и формулировка.
Прямоугольные диаграммы зацеплений можно определить как обычные плоские диаграммы зацеплений, составленные только из вертикальных и горизонтальных отрезков, причем так, что в пересечениях вертикальные всегда проходят сверху. Несколько лет назад И. Дынников доказал, что любая тривиальная диаграмма тривиального узла допускает упрощение до простейшей диаграммы (квадрата) с помощью элементарных преобразований, не требующих добавления новых отрезков. В представленной работе изучался вопрос о том, какие прямоугольные диаграммы допускают хотя бы один шаг монотонного упрощения, т.е. последовательность элементарных преобразований, ни одно из которых не увеличивает число отрезков, а хотя бы одно строго уменьшает.
Оказалось, что ответ на этот вопрос можно дать в терминах лежандровых узлов. Каждой прямоугольной диаграмме соответствуют две фронтальных диаграммы лежандровых зацеплений, одно из которых имеет тот же топологический тип, а другое – зеркально симметричный. Эти фронтальные диаграммы получаются из прямоугольной диаграммы поворотами на 45 градусов и сглаживанием. В работе доказано, что один шаг монотонного упрощения возможен тогда и только тогда, когда одно из соответствующих диаграмме лежандровых зацеплений допускает лежандрову дестабилизацию.
Этот результат использован для доказательства гипотезы В. Джонса, которая утверждает, что две косы, замыкания которых эквивалентны как ориентированные зацепления и которые имеют наименьшее число нитей среди кос, представляющих то же зацепление, имеют одинаковое алгебраическое число пересечений на диаграмме. Известна эквивалентная формулировка: если две плоские диаграммы представляют одинаковые ориентированные зацепления и имеют наименьшее число окружностей Зейферта среди всех диаграмм, представляющих то же зацепление, то они имеют одинаковое алгебраическое число пересечений.
В работе дано также более простое доказательство упомянутого выше утверждения об упрощении прямоугольных диаграмм тривиального узла.

Список литературы

1. И. А. Дынников, М. В. Прасолов, “Шунты для прямоугольных диаграмм. Доказательство гипотезы Джонса и связанные вопросы”, Труды ММО, 74, № 1, 2013, 115–173