Аннотация:
Получены следующие результаты:
(a) доказано существование в $\mathrm{Cr}_n$ при $n>5$ помимо известных максимальных $n$-мерных торов также максимальных $(n-3)$-мерных торов;
(b) доказано существование в $\mathrm{Cr}_n$ при $n>5$ нелинеаризуемого, но стабильно линеаризуемого элемента бесконечного порядка;
(с) доказана разрешимость всякой аффинной алгебраической подгруппы в рациональной подгруппе Жонкьера $J_n$, абелевость группы ее компонент и диагонализируемость любой редуктивной подгруппы;
(d) для естественного рационального действия на $A_n$ любой унипотентной подгруппы в $J_n$ доказано существование аффинного подпространства в $A_n$, являющегося рациональным сечением (следствие: классическая теорема Пуканского; приложение: для разложений Леви, являющихся прямым произведением, доказательство гипотезы Джозефа о существовании «рациональных слайсов» для коприсоединенных представлений);
(e) доказано существование в $\mathrm{Cr}_3$ инволюции, не лежащей ни в какой связной аффинной алгебраической подгруппе группы Кремоны $\mathrm{Cr}_\infty$ бесконечного ранга (в частности, нелинеаризуемой);
(f) получены классификации некоторых типов подгрупп в полных, в аффинных и в специальных аффинных группах Кремоны с точностью до сопряженности в различных объемлющих группах. В частности, доказана сопряженность в $\mathrm{Cr}_n$ любых двух изоморфных конечных абелевых подгрупп аффинной группы (ранее это было доказано Бланком лишь для конечных циклических групп);
(g) доказаны теоремы слияния (fusion theorems) для аффинных и специальных аффинных групп Кремоны (ранее Серр доказал такую теорему для $\mathrm{Cr}_n$);
(h) обобщение на несвязные группы классических результатов Бялыницкого–Бирули 1966–67 гг. о торах;
(i) доказана алгебраичность нормализаторов диагонализуемых подгрупп в аффинных группах Кремоны;
(j) классическое понятие простых чисел кручения алгебраических групп распространено на группы автоморфизмов алгебраических многообразий и найдены эти числа для групп Кремоны маленьких рангов.
Список литературы
В. Л. Попов, “Торы в группах Кремоны”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:4 (2013), 103–134; V. L. Popov, “Tori in the Cremona groups”, Izv. Math., 77:4 (2013), 742–771
V. L. Popov, “Some subgroups of the Cremona groups”, Affine algebraic geometry, Proceedings of the conference (Osaka, Japan, 3–6 March 2011), World Scientific, Hackensack, NJ, 2013, 213–242
Обратная связь: