Избранные задачи математической теории арбитража

Как известно, принцип отсутствия арбитража является для финансовой математики основополагающим. В докладе, наряду с двойственным описанием условий отсутствия арбитража (существование эквивалентным мартингальных мер, эквивалентных супермартингальных плотностей, строго согласованных процессов цен), представлены вычислительно осуществимые процедуры проверки безарбитражности рынка. Список рассматриваемых финансовых моделей представлен ниже.
1) Модель рынка с операционными издержками в случае конечного дискретного времени. Рассматриваются «конструктивный» критерий отсутствия арбитража и рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств (без использования мартингальных мер и их аналогов). Ключевую роль здесь играет теорема о мартингальном выборе, дающая критерий существования мартингального селектора для заданного многозначного случайного процесса.
2) Модель идеального рынка с дискретным временем и конечным горизонтом. Рассматриваются нижние оценки плотностей мартингальных мер и их связь с задачей максимизации среднего значения капитала $\mathsf E X_N$ при ограничениях на убытки $\mathsf E|X_N^-|^p$, $1\le p\le\infty$, а также с теоремой Даланга–Мортона–Виллинджера.
3) Модель с дискретным временем и бесконечным горизонтом, в которой множество $\mathscr W$ стохастических процессов капиталов инвестиционных стратегий подчинено ряду аксиом, имеющих финансовую интерпретацию. Получены критерии существования эквивалентных супермартингальных плотностей и мер для подмножества $\mathscr W_+$ неотрицательных элементов $\mathscr W$.
4) Модель большого рынка (по Кабанову–Крамкову) как последовательность традиционных моделей «малых» рынков с конечным числом рисковых активов. Показано, что свойства безарбитражности большого рынка полностью определяются асимптотическим поведением последовательности эталонных портфелей (numéraire portfolios), относящихся к малым рынкам.