Количественные теоремы про размерность и торическая геометрия

Известны количественные теоремы, утверждающие тот факт, что размерность пространства $\mathbb R^n$ в смысле покрытий равна $n$. Мы рассмотрим две из них – теорему Лебега про покрытия куба и теорему Кнастера–Куратовского–Мазуркевича про покрытия симплекса. Неформально говоря, эти теоремы утверждают, что при кратности покрытия $n$ одно из множеств покрытия должно быть довольно большим. Эти теоремы имеют и дискретные аналоги – хекс-лемму и лемму Шпернера.