Дискретный комплексный анализ: результаты о сходимости

Под дискретизацией комплексного анализа понимается построение теории функций на решетке или ином дискретном множестве, которая в каком-либо смысле имитирует теорию комплексно-аналитических функций. Одним из важнейших аспектов дискретизации всегда является вопрос о сходимости к соответствующей непрерывной теории, так как он определяет возможность использования данной дискретизации в численных методах.
Дискретизации для гармонических функций (которые, как известно, тесно связаны с комплексно-аналитическими) рассматривались еще в 1920-х годах в связи с численным решением уравнений математической физики. Различные дикретизации комплексного анализа строились Р. Исааксом–Ж. Ферранд–Р. Даффином–Х. Мерка (на четырехугольных решетках), И. А. Дынниковым–С. П. Новиковым (на правильной треугольной решетке), У. Терстоном (на узорах из окружностей). Они находят многочисленные приложения в комбинаторике, теории вероятностей и статистической физике.
Для дискретизации на квадратной решетке сходимость дискретных гармонических функций к решениям задачи Дирихле для уравнения Лапласа была установлена Р. Курантом, К. Фридрихсом, Х. Леви и Л. Люстерником, а на ромбической — С. Смирновым и Д. Челкаком.
Недавно докладчиком такая сходимость была доказана для дискретизации на четырехугольных решетках более общего вида (что решило задачу, поставленную С. Смирновым). Совместно с А. Бобенко была построена дискретизация абелевых интегралов и доказана сходимость дискретных матриц периодов к их непрерывным аналогам. Об этих результатах и пойдет речь в докладе.
Для понимания доклада специальных знаний не требуется.