О приложениях гомотопических групп сфер в трехмерных задачах

Я расскажу о двух независимых приложениях высших гомотопических групп сфер в трехмерных задачах.
I. Сферические брунновские косы с $n$ нитями, $n \ge 5$, описывают $n-1$-гомотопическую группу 2-сферы (Дж. Ву (1994)). Используя идеи Р. Михайлова, можно уточнить связь брунновских сферических кос с 4 нитями с группой $\pi_3(S^2)$ и это доставляет новую возможность для исследования динамики конечного множества точек на плоскости. arXiv:1308.2048
II. Пространство $n$-звенных ломаных (на плоскости или в пространстве) с фиксированной суммой длин звеньев интенсивно изучается последнее десятилетие (Jason Cantarella, Clayton Shonkwiler и др.). Я объясню, что я понимаю под высшей симметрией в этом пространстве. Я выпишу высшую симметрию в пространстве 7-звенных плоских ломаных и объясню, как из теоремы Джеймса об инвариантах Арфа–Кервера в стабильных гомотопических группах сфер извлечь формулу для высшей симметрии в пространстве 15-звенных плоских ломаных. arXiv:1308.2046