|
|
Семинар по геометрической топологии
22 октября 2013 г. 15:00–16:30, г. Москва, Мехмат МГУ, ауд. 12-08
|
|
|
|
|
|
Задача Колмогорова и пучки
С. А. Мелихов |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 293 |
|
Аннотация:
В своей работе 1931г. Колмогоров предложил интерпретацию интуиционистской
логики в терминах задач. Так, если $\alpha$ обозначает задачу "поделить любой
заданный угол на 7 равных частей циркулем и линейкой", то отрицание
$\neg\alpha$ можно понимать как задачу "показать, что предположение об
осуществимости указанного построения ведёт к противоречию", а дизъюнкция
$\alpha\lor\neg\alpha$ будет задачей "провести указанное построение либо
доказать его невозможность". Соображение о том, что всякую задачу вида
$\alpha\lor\neg\alpha$ в принципе должно быть возможно разрешить,
"исходя из принципа исключённого третьего", не поможет студенту, которому
эта задача досталась на экзамене (по теории Галуа). Поэтому принцип
исключённого третьего, невыводимый в интуиционистской логике, к задачам
не применим.
В комментарии к своему собранию сочинений 1985г. Колмогоров сообщил:
"Работа [1931г.] писалась в надежде на то, что логика решения задач
сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось
создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух
типов - высказываниями и задачами." Целью доклада является построение
указанного аппарата, соединяющего классическую и интуиционистскую логику,
а также его модели, в которой высказываниям соответствуют подмножества
фиксированного топологического пространства (по аналогии с диаграммами
Венна), а задачам - пучки множеств на этом пространстве.
По сравнению с классической и интуиционистской логикой в языке нового
исчисления добавляются только два функтора между ними, которые
устанавливают соответствие Галуа между частично упорядоченными
множествами задач и высказываний, профакторизованных по
эквивалентности и упорядоченных по импликации.
|
|