Якобианы и абелевы многообразия размерности три

Хорошо известно, что над алгебраически замкнутым полем неразложимое главнополяризованное абелево многообразие размерности три изоморфно якобиану гладкой проективное кривой. Случай, когда поле не является алгебраически замкнутым значительно сложнее. Используя модулярные формы на пространствах модулей абелевых многообразий и кривых, мы приводим критерий, позволяющий определить, когда над заданным не алгебраически замкнутым полем характеристики ноль трехмерное главнополяризованное абелево многообразие является якобианом. Это дает ответ на вопрос Ж.-П. Серра. Мы также расскажем о приложении этого результата к вопросу о максимальном числе точек на кривых над конечными полями.
Доклад основан на совместной работе с G. Lachaud и C. Ritzenthaler.