Оценки модулей непрерывности конформных отображений произвольных жордановых областей

Теорема Б. Римана (1851 г.) утверждает, что для всякой расположенной на расширенной комплексной плоскости односвязной области $G$ с непустой и не одноточечной границей $\partial{G}$ найдется конформный гомеоморфизм $w=\varphi(z)$ этой области на единичный круг $D$. Если при этом область $G$ ограничена и граница ее является жордановым контуром, то (по теореме К. Каратеодори, 1913 г.) функция $\varphi(z)$ непрерывно продолжается на $\partial{G}$ до гомеоморфизма замыкания$\overline{G}$ области $G$ на замкнутый круг $\overline{D}$. Сразу же возникает вопрос о характере влияния метрических свойств границы области $G$ на метрические свойства отображений $w=\varphi(z)$ и/или $z=\psi(w):=\varphi^{-1}(w)$. В 1913г О.Д. Келлог для областей $G$ с гладкими границами типа Ляпунова получил первую теорему такого рода — доказал наличие непрерывных производных $\psi'(w)\ne0$ и $\varphi'(z)\ne0$ на $\overline D$ и $\overline G$ соответственно, получил оценку сверху для модуля непрерывности $\omega(\psi',\overline{D},\delta)$ производной $\psi'(w)$ на $\overline D$. В дальнейшем в работах С.Е. Варшавского (1961г), С.Е. Варшавского и Х. Поммеренке (1982г), а также Е.М. Дынькина (1993г) были получены такие же заключения при более слабых дополнительных условиях на гладкие границы областей $G$.
В докладе вводится понятие модуля колебания произвольной жордановой кривой, а в случае спрямляемости такой кривой — также и понятие ее модуля спрямляемости. В терминах этих простых понятий формулируются всегда содержательные оценки сверху для модулей непрерывности $\omega(\varphi, \overline{G}, \delta)$ и $\omega(\psi, \overline{D}, \delta)$. В докладе рассмотрены также некоторые частные случаи областей $G$. Сообщается, что в случае выпуклости области $G$ функция $\varphi(z)$ имеет ограниченную производную на $\overline{G}$, причем $\varphi'(z)$ может быть разрывной в некоторых точках $\zeta \in \partial G$. Приводится критерий непрерывности $\varphi'(z)$ в рассматриваемых граничных точках $\zeta$. Аналогичные результаты получены и для $\psi'(w)$.