Асимптотические оценки для совместного распределения сумм по строкам случайных симметрических целочисленных матриц. Введение

Пусть независимые случайные величины a_1,a_2,..a_n, принимают только целые значения. Рассматриваются суммы вида S = a_{j_1} + ....a_{j_k}, соответствующие подмножествам множества {1,2...n}, причем выполнено дополнительное условие, что никакие три из этих сумм не имеют общего слагаемого. Обсуждаемый вопрос: что можно сказать про совместное распределение этих сумм, если распределения a_1,a_2,..a_n (или хотя бы моментные характеристики) известны. В одном из частных случаев, задача равносильно подсчету числа подграфов в фиксированном графе G с заданной последовательностью степеней вершин. Даже для случая полного графа точный ответ не получен в литературе и известны только асимптотические оценки, см [1], [2], [3]. Оказывается, подход [1], [3] можно использовать и в самом общем случае. В докладе будет рассказано какие сложности возникают на этом пути, и каким образом их можно преодолевать.
[1] McKay B.D., Wormald N.C. Asymptotic enumeration by degree sequence of graphs of high degree// European J. Combin., 1990, V. 11, P. 565–580.
[2] McKay B.D., Wormald N.C. Asymptotic enumeration by degree sequence of graphs with degrees o(n^1/2)//, Combinatorica, 1991, V. 11, Iss. 4, P. 369–382.
[3] Barvinok A., Hartigan J. The number of graphs and a random graph with a given degree sequence// Random Structures and Algorithms, 2013, V. 42, Iss. 3, P. 301 348.