Марковское свойство времени пребывания для цепей Маркова с непрерывным временем

Как известно, условное локальное время для одномерного броуновского движения (до экспоненциального момента времени) является марковским процессом. Представляется интересным, можно ли утверждать подобное для однородной марковской цепи $X(t)$ с дискретным пространством состояний $\mathbb{A}$. Аналогом локального времени в данном случае служит время пребывания $\tau(v)$ процесса $X(t)$ в состоянии $v$ до экспоненциального момента $\theta$, а марковское свойство рассматривается относительно условных мер $P_{ab}$, фиксирующих начало и конец траектории ($X(0)=a,X(\theta)=b$).
Трудность такого обобщения заключается в том, что $\mathbb{A}$, вообще говоря, может не иметь каких-либо дополнительных структур, а потому само понятие марковости определить не всегда возможно. C.С. Валландер предложил рассматривать марковское свойство в так называемых необходимых состояниях. Состояние называется необходимым, если при его удалении граф переходов распадается на компоненты связности, понимаемые как «прошлое» и «будущее». Само это состояние понимается как «настоящее».
С.С. Валландер доказал, что для случайных блужданий по дереву с непрерывным временем поле $\tau$ обладает марковским свойством. В докладе будет показано, что марковость имеет место и в общем случае.
Интересен вопрос, что будет, если рассматривать «настоящее», состоящее не из одного состояния, а из нескольких. Оказывается, что даже при различных подходах к пониманию марковости поле $\tau$ будет обладать марковским свойством только в тривиальных случаях. Таким образом, марковость времени пребывания, определяется тем, сосредоточено «настоящее» в одном состоянии или в нескольких.
При рассмотрении неоднородных цепей $X(t)$ возникают определенные технические трудности. Тем не менее, для наиболее простой неоднородной цепи, когда процесс до момента $T$ ведет себя как однородная цепь с переходной плотностью $Q_1$, а после — с плотностью $Q_2$, проверить отсутствие марковости (при различных $Q_1$ и $Q_2$) можно.
Оказывается также, что рассмотрение неэкспоненциальных моментов остановки $\theta$ во многом аналогично введению неоднородности. Будет показано, что марковость поля времени пребывания $\tau$ равносильна экспоненциальности момента остановки.