Асимптотически однородные цепи Маркова I

Оба доклада будут посвящены исследованию стационарных распределений асимптотически однородных положительно возвратных цепей на $\mathbb{Z}_+$. Более точно, мы будем предполагать, что цепь $X_n$ удовлетворяет следующему условию. Существует случайная величина $\xi$ такая, что
\begin{equation} \label{1} \lim_{x\to\infty}\mathbf{P}_x(X_1-x=y)=\mathbf{P}(\xi=y), \quad y\in\mathbb{Z}. \end{equation}
Кроме того, мы сосредоточимся на на так называемом крамеровском случае: $\mathbf{E} e^{\beta\xi}=1$, $\mathbf{E}\xi e^{\beta\xi}<\infty$ и $\sup_x\mathbf{E}_xe^{\beta(X_1-x)}<\infty$ для некоторого $\beta>0$.
Примечательным является факт, что предельное поведение стационарного распределения $\pi$ зависит не только от предела $\xi$, но и от скорости сходимости в \eqref{1}.
В первом докладе сначала будет подробно рассмотрено случайное блуждание с задержкой в нуле – самый простой и наиболее изученный пример асимптотически однородной цепи. Затем мы обратимся к методу функция Ляпунова, который позволяет найти асимптотику $\pi$ для цепей с достаточно высокой скоростью сходимости.
Второй доклад будет посвящен применению теории потенциала к асимптотически однородным цепям. В частности, будет описан новый подход к построению положительных гармонических функций для переходных ядер на $\mathbb{Z}_+$. В заключительной части мы коснемся поведения допредельных распределений цепи $X_n$.