Гипотеза Кахана об усилении теоремы Берлинга-Хелсона

Пусть $A(\mathbb T)$ — пространство непрерывных функций $f$ на окружности $\mathbb T$ таких, что последовательность коэффициентов Фурье $\hat f=\{\hat f(k)\colon k\in\mathbb Z\}$ принадлежит $\ell^1(\mathbb Z)$. Норма в $A(\mathbb T)$ определяется естественным образом: $\|f\|_{A(\mathbb T)} = \|\hat f\|_{\ell^1(\mathbb Z)}$. Согласно известной теореме Берлинга-Хелсона, если $\varphi\colon\mathbb T\to\mathbb T$ — непрерывное отображение такое, что $\|e^{in\varphi}\|_{A(\mathbb T)}=O(1)$, $n\in\mathbb Z$, то $\varphi$ линейно ($\varphi(t)=\nu t+\varphi(0)$, $\nu\in\mathbb Z$). Кахану принадлежит гипотеза (ICM 1962) о том, что то же заключение относительно $\varphi$ верно в предположении $\|e^{in\varphi}\|_{A(\mathbb T)}=o(\log|n|)$. Отметим, что само существование последовательности $\omega_n$, стремящейся к бесконечности, такой, что из условия $\|e^{in\varphi}\|_{A(\mathbb T)}=o(\omega_{|n|})$ всегда следует линейность отображения $\varphi$ (и, тем самым, сама возможность принципиального усиления теоремы Берлинга-Хелсона) — не очевидно. В докладе будет представлен сравнительно недавний результат автора: если $\|e^{in\varphi}\|_{A(\mathbb T)}=o((\log\log|n| / \log\log\log|n|)^{1/12})$, то $\varphi$ — линейно.