О Траекториях Наискорейшего Спуска для Негладких Функций

В 1980 г. ДеДжорджи, Марино и Тоскес ввели понятие "наклона" (максимальной мгновенной скорости убывания функции в данной точке) для функций, определенных на метрическом пространстве и с его помощью определили траектории "максимального наклона" для таких функций как кривые, у которых метрическая производная почти всюду совпадает с наклоном. В дальнейшем сам ДеДжорджи, Марино, Амброзио и др. доказали при некоторых дополнительных предположениях существование чуть более медленных траекторий спуска, которые естественно назвать траекториями "почти максимального наклона". (Обстоятельное изложение полученных к настоящему времени результатов можно найти в монографии L. Ambrosio, N. Gigli, and G. Savare. Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures. Lectures in Mathematics ETH Zurich. Birkhauser Verlag, Basel, second edition, 2008.)
Мы предлагаем новый подход к построению подобных траекторий, который базируется на принципах метрической регулярности. (Недавно была выяснена и исследована фундаментальная роль понятия наклона в локальной теории метрической регулярности.) В рамках этого подхода удается получить большинство из упомянутых результатов с существенно меньшими усилиями и используя, как нам кажется, геометрически весьма прозрачную аргументацию. Эффективность предлагаемого подхода особенно очевидна для функций на эвклидовых пространствах. В этом случае для локально липшицевых функций, обладающих хорошими структурными свойствами (скажем, полу-алгебраических или, более общо, определимых в какой-либо о-мимимальной структуре - а такие функции типичны в оптимизационной практике) удается показать, что траектории почти максимального наклона удовлетворяют некоторому эволюционному включению, связанному с предельным субдифференциалом функции. Более того, оказывается, что длины всех подобных траекторий, не выходящих за пределы некоторой ограниченной области, ограничены в совокупности общей константой (зависящей от области).