Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами

Доклад посвящен случайным матрицам с зависимыми элементами. В первой части доклада рассматриваются случайные матрицы $X_n = (X_{jk})_{j,k = 1}^n$, элементы которых удовлетворяют следующим условиям $C0$:
a) $(X_{jk}, X_{kj})$ взаимно независимы для всех $1 \le j < k \le n$;
b) для любого $j, k = 1, ... , n$
$$ \mathbb E X_{j k} = 0 \text{ и } \mathbb E X_{j k}^2 = 1; $$
c) для всех $1 \le j < k \le n$
$$ \mathbb E ( X_{j k} X_{k j} ) = \rho, |\rho| \le 1; $$
Обозначим через $\lambda_1, …, \lambda_n$ - собственные значения матрицы $n^{-1/2} \bf{X_n}$ и определим эмпирическую спектральную меру $\mu_n$ случайной матрицы $n^{-1/2} \bf{X_n}$. Предполагая выполнение условий $C0$ и условия
$$ \max_{j,k}\mathbb E|X_{jk}|^2\mathbb I{\{|X_{jk}|>M\}} \rightarrow 0 \quad \text{при}\quad M \rightarrow \infty, $$
мы покажем, что $\mu_n$ сходится к равномерному распределению на эллипсе
$$ \mathcal E := \left \{ u,v \in \mathbb R: \frac{u^2}{(1+\rho)^2} + \frac{v^2}{(1-\rho)^2} \le 1 \right \}. $$
При дополнительных условиях результат был доказан Гирко (1985), Наумов (2013), Нгуен и О’Рурке (2013). Также обсуждается обобщение результата на случай произведения матриц.
Во второй части доклада рассматриваются случайные симметричные матрицы с зависимыми элементами. Предположим, что элементы матрицы имеют нулевое математическое ожидание и конечные дисперсии, которые могут быть различными числами. Предполагая выполнение условия Линдеберга и сходимость нормированных сумм дисперсий в каждой строке и столбце к единице, мы доказываем, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения собственных значений матрицы сходится к полукруговому закону Вигнера. Результат может быть обобщен на класс ковариационных матриц с зависимыми элементами. В этом случае ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения сходится к закону Марченко-Пастура. Доклад основан на совместных результатах Ф. Гётце, А.А. Наумова и А.Н. Тихомирова.