Развитие формализма Лагранжа на анормальные задачи

Для достаточно общих задач на условный экстремум в Банаховых пространствах выделяется класс задач, для которых классические методы исследования, основанные на принципе Лагранжа, не работают. Общим свойством таких задач является то, что первая производная отображения, задающего ограничения экстремальной задачи, в исследуемой точке вырождается и не дает достаточной информации о самом отображении в окрестности этой точки. Такие точки называются нерегулярными точками отображения. Поэтому принцип Лагранжа, который, по сути, является линеаризацией исходной задачи, не дает содержательной информации о таких экстремальных точках и тривиально выполняется в любой нерегулярной точке ограничений независимо от минимизируемой функции. Такие задачи, следуя известной монографии Блисса, называются анормальными. Так как свойство анормальности присуще экстремальной задаче в достаточно общей постановке, то оно проявляется и в различных приложениях общей задачи, таких как задачи математического программирования, вариационного исчисления и оптимального управления. Соответственно для этих задач классические методы исследования, основанные на правиле множителей Лагранжа, условиях Эйлера–Лагранжа и принципе максимума Понтрягина также не дают никакой информации о точках экстремума.
В докладе предложены необходимые условия экстремума первого и второго порядка содержательные для анормальных экстремальных задач в Банаховых пространствах, которые в регулярном случае непосредственно превращаются в классические необходимые условия экстремума первого и второго порядка. Аппаратом для получения таких необходимых условий является теорема об оценке, которую можно рассматривать как развитие теоремы Люстерника на нерегулярный случай.