Аннотация:
Рассмотрим классическую экстремальную задачу с ограничениями
$$
\phi(x)\to\min,\qquad f_i(x)=0,\quad i=1,2,\dots,k,\qquad x\in X.
$$
Здесь $X$ – банахово пространство (для простоты можно считать его конечномерным), гладкие функции $f_i$ задают ограничения, а $\phi$ – минимизируемый функционал. Пусть $x_0$ – локальный минимум. Известно, что если точка $x_0$ вырождена (анормальна), т.е. градиенты ограничений $f_i(x_0)$ линейно зависимы, то классический принцип Лагранжа вырождается (не несет содержательной информации), а классические необходимые условия второго порядка не выполняются. Обсуждается это явление вырождения и излагается теория необходимых условий первого и второго порядков одинаково содержательная как для вырожденных, так и для невырожденных задач. Эти результаты являются развитием принципа Лагранжа и обобщаются на широкие классы задач: задачи с неравенствами, задачи с бесконечным числом ограничений, задачи оптимального управления и т.д.
Классический пример подобной анормальной задачи: является ли заданная квадратичная форма неотрицательной (или обращается ли она в нуль) на пересечении квадрик. Излагаемая теория позволяет дать ответы на эти вопросы.
Рассмотрим теперь систему нелинейных уравнений, имеющую в векторной записи вид $\mathbf F(x)=y$, где $\mathbf F$ – гладкое отображение. Если точка $x_0$ вырождена, т.е. линейный оператор $\mathbf F'(x_0)$ не является сюръективным (например, $\mathbf F'(x_0)=0$), то в точке $x_0$ классическая теорема об обратной функции неприменима. В докладе обсуждается это явление вырождения и предлагаются два типа теоремы об обратной функции, которые применимы и в вырожденных точках. Обсуждаются обобщения теоремы об обратной функции на случай ограничений, определяемых выпуклым конусом, теоремы об обратной функции по направлениям и т.д.
Все излагаемые в докладе результаты являются содержательными и в конечномерном случае (даже, если $X$ – трехмерное пространство).
Список литературы
А. В. Арутюнов, Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи, Изд-во “Факториал”, М., 1997
А. В. Арутюнов, “Теорема о неявной функции как реализация принципа Лагранжа. Анормальные точки”, Матем. сб., 191:1 (2000), 3–26
А. В. Арутюнов, “Необходимые условия второго порядка в задачах оптимального управления”, Докл. РАН, 371:1 (2000), 10–13
А. В. Арутюнов, “Принцип максимума Понтрягина и достаточные условия оптимальности для нелинейных задач”, Дифференц. уравнения, 39:12 (2003), 1587–1595
А. В. Арутюнов, “Накрывание нелинейных отображений на конусе в окрестности анормальной точки”, Матем. заметки, 77:4 (2005), 483–497
А. В. Арутюнов, “Неотрицательность квадратичных форм на пересечении квадрик и квадратичные отображения”, Матем. заметки, 84:2 (2008), 163–174
Обратная связь: