Аннотация:
Ансамбль Совместно Ортогональных Многочленов (СОМ) определяется на
$\mathbb R^n$ функцией плотности вероятности следующего вида:
\begin{equation}
\label{eq0.7}
\mathcal P(x_1,\dots, x_n) =
\frac{1}{Z_n} \prod_{j > i} (x_j - x_i) \det [ \varphi_i(x_j)]_{i,j=1, \ldots, n},
\end{equation}
где линейная оболочка функций $\{ \varphi_1, \dots, \varphi_n \}$
такая же, что и у множества
\[
\{ x^k w_j(x) \mid k = 0, …, n_j - 1, j=1, \ldots, p \}.
\]
Этот СОМ ансамбль порожден $p$ весовыми функциями $w_1, \dots,w_p$ и мультииндексом
$\vec{n} = (n_1, \dots, n_p)$. Усредненный характеристический многочлен
\[
P_{\vec{n}}(z) = \mathbb E [ \prod_{j=1} (z-x_j) ]
\]
(где математическое ожидание берется относительно плотности
вероятности (1)) удовлетворяет соотношениям ортогональности
\begin{equation}
\label{eq0.6}
\int P_{\vec{n}}(x) x^k \, d\mu_j(x)=0,
\qquad k=0,1,\dots,n_j-1, \quad j=1,\dots, p,
\end{equation}
с мерами $d\mu_j(x) = w_j(x) dx$. Равенства (2) называют соотношениями совместной ортогональности, а $P_{\vec{n}}$ называется совместно ортогональным многочленом. Эти многочлены появились в теории рациональных приближений аналитических вектор функций, которая при этом была мотивирована
теорией диофантовых приближений.
В последнее время важные примеры СОМ ансамблей появляются в теории случайных матриц и в теории непересекающихся случайных путей, таких как броуновские мосты, случайные матрицы с внешним источником, двухматричные модели и ансамбли нормальных случайных матриц. Доклад будет посвящен аналитическим аспектам и асимптотическому поведению этих моделей.
Обратная связь: