О стохастических оптимизационных задачах для диффузионных процессов и методах их решения сведением к задачам Стефана с неизвестными границами для уравнения Пуассона

Для иллюстрации рассматриваемой проблематики вначале формулируется несколько стохастических задач общего интереса, допускающих переформулировку в виде задач об “оптимальной остановке”:
{\it Найти функцию
$$ V^*(x)=\sup_\tau \mathsf E_x\biggl[G(X_\tau)+\int_0^\tau h(X_s)\,ds\biggr] $$
и оптимальный момент остановки $\tau^*$ для $d$-мерного диффузионного процесса $X=(X_t)_{t\ge0}$}.
Будут изложены основные результаты развиваемой теории решения таких задач для диффузионных (и более общих) процессов и, в частности, показано при весьма общих условиях существование оптимального момента остановки $\tau^*$, являющегося моментом первого попадания процесса $X$ в некоторое множество $D^*$ ($\tau=\inf\{t\colon X_t\in D^*\}$).
Для отыскания функции $V^*$ и области $D^*$ с рассматриваемой (стохастической) задачей связывается PDE-задача Стефана:
\begin{gather*} LV(x)=-h(x), \quad x\in C, \\ V(x)=G(x), \quad x\in D. \end{gather*}
Области $C$ и $D$ неизвестны и трудная проблема состоит в том, чтобы найти такие дополнительные условия на (неизвестной) границе $\partial D$, чтобы полученное решение $(V,D)$ совпадало с $(V^*,D^*)$. В докладе будут описаны полученные здесь общие результаты, дающие, в частности, в конкретных задачах явные представления как для функции $V^*$, так и для оптимальной границы $\partial D^*$, разделяющей область продолжения наблюдений $C^*$ и область остановки наблюдений $D^*$.