Множество условностей и условность множеств. Лекция 4

Все мы знаем, что математика доказывает импликации. Другими словами, мы доказываем не то, что какое-то утверждение верно, а то, что оно следует из принятых нами аксиом. Но при этом часто недооценивается, насколько сильно можно поменять набор аксиом.
Одно из базовых понятий математики, на которых видна степень условности выбора конкретного набора аксиом – понятие множества. Сначала оно казалось совершенно очевидным. К сожалению, этот подход привёл к противоречиям. После этого стали развиваться разные способы работать со множествами не приходя к парадоксам.
Понятие множества используется во многих разделах математики, из-за чего работать со множествами обычно учат постепенно, по кусочкам добавляя факты как естественные и самоочевидные основы, пока не получится теория, носящая имя ZFC. Из-за этого часто оказывается заметён под ковёр тот факт, что ZFC лишь один из возможных вариантов и что замена оснований теории множеств совсем не обязана рушить ругие разделы маематики. Курс будет посвящён рассказу о том, что может быть проблемой при пользовании какой-то аксиоматикой и сколь разнообразны варианты.
В курсе простые вещи будут доказываться, а сложные – приниматься на веру; так будет сделано не только для того, чтобы легче обманывать легковерных участников, но и для того, чтобы показать связи между далеко разбросанными темами без чтения по каждой семестрового курса.
Предварительные требования будут изменены в соответствии со знаниями и интересами аудитории; я надеюсь, что обозначения $\to$, $\forall$, $\vee$, $\in$, $\cup$, $\dots$ всё же всем знакомы и привычны настолько, что ошибочно кажутся понятными.