Суммы квадратов, простые числа, конечные поля и алгебраическая геометрия. Лекция 1

Будет обсуждаться теорема о том, что каждое положительное целое число представимо как сумма не более четырех полных квадратов. Это тот редкий случай, когда утверждение с элементарной формулировкой имеет достаточно простое, но вполне научное доказательство, и может служить хорошим поводом поговорить на простом и понятном языке даже и о таких продвинутых вещах, как алгебраическая геометрия над конечным полем.
Я постараюсь не использовать ничего, чего нет в школьной программе, хотя базовые определения из алгебры – группа, поле, векторное пространство – все-таки полезно будет знать.