Автоморфизмы аффинного пространства. Лекция 4

Автоморфизм $n$-мерного аффинного пространства – это отображение $(x_1,\dots,x_n) \to (f_1,\dots,f_n)$, где $f_i$ – многочлены от переменных $x_1,\dots,x_n$, для которого существует обратное отображение, также заданное многочленами.
Мы начнем с полного описания автоморфизмов прямой. Про автоморфизмы плоскости известно много, но не все; знаменитый открытый вопрос – это проблема якобиана. Мы определим ручные и дикие автоморфизмы, докажем, что все автоморфизмы плоскости являются ручными, и немного поговорим о доказательстве теоремы Шестакова и Умирбаева (2004) о том, что автоморфизм Нагаты трехмерного пространства (1972) является диким. Также мы обсудим свойство бесконечной транзитивности действия группы автоморфизмов и его связь с локально нильпотентными дифференцированиями. Будет сформулирован ряд известных открытых проблем аффинной алгебраической геометрии: проблема сокращения, проблема выпрямления, проблема линеаризации для торов и ее связь с градуировками.
Хорошо бы понять, почему такие важные и элементарно формулируемые утверждения до сих пор не удается ни доказать, ни опровергнуть.
Несмотря на устрашающие слова, курс полностью элементарен и использует только алгебру многочленов.