Параллелизуемые сферы и алгебры с делением. Лекция 1

Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности $n-1$ параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких $n$ на $n$-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений $1$, $2$, $4$, $8$. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса.
Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.
От слушателей предполагается знакомство с такими понятиями, как векторное пространство и непрерывная функция.