Рациональные факторы нерациональных поверхностей

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 всякая унирациональная поверхность является рациональной. Однако в случае алгебраически незамкнутого поля это не так. Например, всякая поверхность Дель Пеццо степени 4, 3, 2 является унирационально, но бывают нерациональные поверхности Дель Пеццо степени 4, 3, 2. Важным примером унирациональных поверхностей являются факторы рациональных поверхностей по конечным группам автоморфизмов. В докладе будет рассказано, в каких случаях фактор поверхности Дель Пеццо может быть нерациональным: Для поверхностей Дель Пеццо степеней 5 и выше фактор по любой конечной группе всегда является рациональным.Для поверхностей Дель Пеццо степени 4 фактор может быть нерациональным для групп $C_2$, $C_4$, $C_2^2$.Для поверхностей Дель Пеццо степени 3 фактор может быть нерациональным для групп $C_3$. Для поверхностей Дель Пеццо степени 2 фактор может быть нерациональным для групп $C_2$, $C_3$, $C_2^2$, $C_4$, $D_8$, $Q_8$.Для поверхностей Дель Пеццо степени 1 фактор может быть нерациональным для групп $C_2$, $C_3$, $C_6$, $S_3$.Для других групп фактор рационален всегда. (Здесь $C_n$ - циклическая группа порядка n, $D_n$ - диэдральная группа порядка n, $Q_8$ - группа кватернионов, $S_n$ - симметрическая группа на n буквах).Нахождение нерациональных факторов рациональных поверхностей важно для изучения классов сопряжённости в группе Кремоны проективной плоскости над незамкнутым полем. Действительно, если группа $G$ действует на рациональных поверхностях $X$ и $Y$ так, что фактор $X/G$ рационален, а $Y/G$ нет, то группа $G$ вкладывается в группу Кремоны как минимум двумя различными способами.
В первой части доклада я напомню основные определения и свойства рациональных поверхностей. Во второй части доклада я расскажу про методы исследования рациональности факторов нерациональных поверхностей.