Локальные предельные теоремы для случайных блужданий на полуоси

Пусть $\{S_0=0,\ S_n,\ n\ge 1\}$ – случайное блуждание, порожденное последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин $X_1,X_2,\dots$, и пусть
$$ \tau^{-}=\min\{n\ge 1:S_n\le 0\} $$
и
$$ \tau^{+}=\min\{n\ge 1:S_n>0\}. $$
Предполагая. что распределение случайной величины $X_1$ принадлежит области притяжения устойчивого закона с параметром $\alpha$, мы исследуем асимптотическое поведение при $n\to\infty$, вероятностей $\mathbf{P}(\tau^{\pm}=n)$ и доказываем локальные предельные теоремы типа Гнеденко и Стоуна для условных вероятностей
$$ \mathbf{P}(S_n\in\lbrack x,x+\Delta)|\tau^{-}>n) $$
при фиксированном $\Delta $ и $x=x(n)\in (0,\infty)$.