Замена времени, связанная с замедленным отражением

Эта работа посвящена полумарковскому подходу к проблеме отражения диффузионного процесса от границы области задания. Полумарковский подход состоит в изучении процесса с помощью семейства точек первого выхода из окрестностей возникающих точек. Этот подход имеет в некоторых случаях преимущество по сравнению с классическим подходом. Например, он даёт более экономный и информативный способ моделирования винеровского процесса с помощью компьютера. Основное достижение этого подхода в том, что он порождает класс непрерывных полумарковских процессов, для которых постулируется марковское свойство только относительно таких моментов первого выхода [2].
Каждый непрерывный строго марковский процесс является полумарковским, но не наоборот. Существуют преобразования непрерывных строго марковских процессов, в результате которых утрачивается марковское свойство, но сохраняется полумарковское. Одно из таких преобразований — это замедленное отражение. Элементарный пример такого отражения даёт операция усечения одномерного винеровского процесса на границе интервала его значений, а замедление проявляется в виде интервалов постоянства у усечённого процесса, приходящихся на время выхода исходного процесса за границу интервала.
Полумарковский подход позволяет описать весь класс возможных отражений марковского диффузионного процесса от границы области задания [1]. Если, например, мы рассматриваем марковский диффузионный процесс в положительной полуплоскости, отражающийся от точки 0, то все варианты полумарковского отражения даёт распределение точки первого выхода из односторонней окрестности нуля вида $[0,r)$ $(r>0)$. Преобразование Лапласа этого распределения находится как решение уравнения типа Бернулли с коэффициентами, определяемыми исходным марковским процессом. В этом случае всё множество возможных решений вытекает из множества произвольных постоянных семейства решений этого уравнения (зависящих от параметра преобразования Лапласа). У этого множества решений имеется крайняя точка, когда произвольная постоянная равна нулю тождественно. Такое решение соответствует мгновенному отражению.
В настоящей работе изучается замена времени, преобразующая процесс с мгновенным отражением в процесс с замедленным отражением, определяемым положительным значением произвольной постоянной. Получено представление прямой замены времени в терминах исходного локально марковского процесса. Получено преобразование Лапласа распределения разности моментов первого выхода из $[0,r)$ для процесса с замедленным отражением и с соответствующим мгновенным отражением. Доказано, что, необходимым условием сохранения марковости у отраженного процесса является экспоненциальное распределение этой разности [3]. Применение полумарковской модели замедленного отражения в хроматографии обсуждается в работе [4].

Список литературы

1. B. P. Harlamov, “Diffusion process with delay on edges of a segment”, Zapiski nauchnyh seminarov POMI, 351, 2007, 284–297 (Russian)  
2. B. P. Harlamov, Continuous semi-Markov processes, ISTE & Wiley, London, 2008, 376 pp.    
3. B. P. Harlamov, “On a Markov diffusion process with delayed reflection on boundaries of a segment”, Zapiski nauchnyh seminarov POMI, 368, 2009, 231–255 (Russian)
4. B. P. Harlamov, “Stochastic model of gas capillary chromatography”, Communication in Statistics – Simulation and Computation, 41:7 (2012), 1023–1031