Гипотеза Малера и симплектическая геометрия

(совместно с Ш. Арштайн-Авидан и Я. Островером)
В этом докладе мы обсудим новые связи между симплектической и выпуклой геометрией.
Мои соавторы в своих предыдущих работах установили замечательное соответствие между минимальной длиной замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле $K$, измеренной с помощью некоторой нормы, и симплектической ёмкостью Хофера–Цендера $c(K\times T)$, где $T$ — единичный шар двойственной нормы. Оказалось, что можно получить оценку снизу на длину замкнутой бильярдной траектории методами выпуклой геометрии, если $K$ — единичный шар некоторой нормы, а $T=K^\circ$ — полярное ему тело (единичный шар двойственной нормы). Тогда эта величина не менее $4$.
В симплектической геометрии Витербо выдвинул гипотезу, что объём выпуклого тела $X$ в $\mathbb R^{2n}$ не менее $c(X)^n/n!$. Если она верна, то из утверждения о бильярдах мы получаем, что $\mathop{\rm vol}\nolimits K\times K^\circ \ge 4^n/n!$ для любого центрально симметричного выпуклого тела в $\mathbb R^n$ и его полярного тела, а это классическая гипотеза Малера (1939). По этой гипотезе есть результаты с худшей оценкой вида $\gamma^n/n!$ (теорема Бургена–Мильмана, 1987), в которой константа $\gamma$ была приближена к $\pi$ для больших $n$ (Грег Куперберг, 2008), в точном виде гипотеза доказана самим Малером для $n=2$ и открыта для $n\ge 3$.
Чтобы закончить доказательство гипотезы Малера, теперь остаётся доказать гипотезу Витербо.