Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений

В докладе будет рассмотрен ряд недавно полученных результатов в задачах о приближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными комплексными коэффициентами на плоских компактах в нормах пространств $C^m$. В частности будут обсуждены задачи аппроксимации функций полианалитическими многочленами, т.е. многочленами вида
$$ \overline{z}^np_n(z)+\cdots+\overline{z}p_1(z)+p_0(0), $$
где $p_n,\dots,p_0$ — многочлены комплексного переменного $z$.
Особое внимание будет уделено задаче о равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами и связанным с ней задачам о свойствах неванлинновских областей (напомним, что ограниченная односвязная область $\Omega$ в $\mathbb C$ называется неванлинновской, если найдутся две функции $u,v\in H^\infty(\Omega)$, $v\not\equiv0$, такие, что равенство $\overline{z}=u(z)/v(z)$ выполняется почти всюду на $\partial\Omega$ в смысле конформного отображения). Задачи о свойствах неванлинновских областей в свою очередь тесно связаны с задачами о существовании и о граничном поведении ограниченных однолистных функций, принадлежащих модельным пространствам (т.е. инвариантным относительно оператора обратного сдвига подпространств пространства Харди $H^2$). Эти задачи также предполагается обсудить в докладе.