Целые точки на модулярных кривых

Проблема поиска рациональных точек на произвольных модулярных кривых сводится, грубо говоря, к трем типам кривых простого уровня, соответствующих трем типам максимальныш подрупп линейной группы $GL_2(F_p)$:

• кривая $X_0(p)$, соответствующая подгруппе Бореля;
• кривая $X_sp^+(p)$, соответствующая нормализатору разложимой подгруппы Картана;
• кривая $X_ns^+(p)$, соответствующая нормализатору неразложимой подгруппы Картана;

На кривых первых двух типов рациональные точки определены (почти) полностью: Mazur (1978), B.-Parent-Rebolledo (2012). В частности, доказано, что для $p>13$ рациональные точки на этих кривых являются или вершинами, или точками комплексного умножения. Но о рациональных точках на $X_ns^+(p)$ почти ничего не известно.
В докладе я расскажу о недавнем прогрессе в более простой задаче: классификации целых точек на $X_ns^+(p)$. Мои аспиранты Bajolet и Sha получили довольно сильную явную верхнюю границу для высоты целых точек. Кроме того, в совместной работе с Bajolet мы доказали, что для $7<p<71$ целые точки на $X_ns^+(p)$ являются точками комплексного умножения, существенно усилив недавний результат Schoof и Tzanakis.