Вокруг задачи Банга–Тарского о покрытии полосками

Известная школьная задача утверждает, что если круг на плоскости покрыт полосками, то сумма ширин полосок не менее диаметра круга. Доказательство этого рассуждения с помощью подходящей меры на круге несложно и восходит к знаменитому математику А. Тарскому. Однако вопрос для некруглых фигур или размерностей больше двух гораздо сложнее. В 1951-м году Т. Банг доказал, что в произвольной размерности сумма ширин полосок, покрывающих тело, не меньше ширины тела. В той же работе он сформулировал гипотезу: верно ли, что сумма «относительных ширин» полосок, покрывающих тело, всегда не менее 1. В 2005-м году В. Кадец обобщил теорему Банга–Тарского на покрытие шара произвольными выпуклыми телами доказав, что сумма радиусов вписанных в эти тела шаров не меньше радиуса покрытого шара. В докладе будет рассказано доказательство теорем Банга и Кадеца, рассмотрены трудные результаты К. Болла в этой области и их следствия, и приведено несложное доказательство некоторого обобщения теоремы Кадеца для случая разбиения выпуклых тел.