Одно обобщение проекционных оценок Ченцова

1.Пусть$(\mathbf{X},\mathcal{A}, \mu )$ - измеримое пространство с мерой $\mu$ на нем. Некоторая функция $\theta\in\Theta\subseteq L_2 (\mathbf{X})$ наблюдается в шуме. Если множество $\Theta$ бесконечномерно, возникает проблема, как построить оценку для $\theta$. В 1962 г. Н. Н. Ченцов предложил следующий метод построения таких оценок. Рассмотрим $N$-мерные подпространства $H$ гильбертова пространства $L_2 (\mathbf{X})$, выберем такое $H$, которое достаточно хорошо аппроксимирует $\Theta$ , построим хорошую оценку $T_N$ проекции $\theta$ на $H$ и используем $T_N$ в качестве оценки для $\theta$. Таким образом задача оценивания бесконечномерного параметра разбивается на две следующих подзадачи:
1. статистическую задачу оценивания конечномерного параметра;
2. задачу аппроксимации множества $\Theta$ конечномерными линейными многообразиями.
2. В докладе я рассматриваю следующее обобщение метода Ченцова. Пусть $H_K\subseteq L_2$ - подпространство $L_2$ с воспроизводящим ядром $K(x,y)$. Предлагается рассматривать проекции $\theta$ на различные $H_K$ и оценивать эти проекции (все конечномерные гильбертовы пространства имеют воспроизводящее ядро ). Оказывается, что такие обобщенные проекционные оценки во многом сходны с классическими оценками Ченцова.
3. Метод будет проиллюстрирован на трех следующих задачах:
1. Оценка функции, наблюдаемой в гауссовском шуме.
2. Оценка плотности распределения.
3. Оценка плотности интенсивности неоднородного случайного пуассоновского множества.