Новые результаты о старших энергиях

Пусть $A$ — произвольное конечное множество в абелевой группе. Старшей энергией $E_k(A)$ (или старшим моментом свертки) множества $A$ называется величина
$$ E_k(A):=\sum_x|\{a_1-a_2=x:a_1,a_2\in A\}|^k. $$
В терминах $E_k(A)$ можно сформулировать много важных теорем аддитивной комбинаторики, а использование соотношений между различными энергиями, позволяет получить ряд приложений к задачам теории чисел и комбинаторики. Мы произведем обзор имеющихся здесь результатов.
Кроме того, будут рассмотрена ситуация когда между двумя энергиями $E_n(A)$ и $E_m(A)$, $n<m$, всегда связанных неравенством Гельдера
$$ E^{m-1}_n(A)\le E^{n-1}_m(A)|A|^{2(m-n)}, $$
справедливо обратное соотношение
$$ E^{m-1}_n(A)\ge M^{-1} E^{n-1}_m(A)|A|^{2(m-n)}, $$
$M\ge 1$ — параметр. Оказывается, что в этом случае множество $A$ является сильно структурированным, что может быть использовано для дальнейших приложений.