Гомотопический тип момент-угол-комплексов

Момент-угол-комплекс $\mathcal Z_K$ представляет собой клеточный комплекс с действием тора, составленный из произведений дисков $D^2$ и окружностей $S^1$, параметризованных гранями некоторого симплициального комплекса $K$. Замена пары $(D^2,S^1)$ на произвольную клеточную пару $(X,A)$ приводит к понятию полиэдрального произведения. Эта конструкция в настоящее время активно изучается в теории гомотопий, а также имеет множество интересных геометрических интерпретаций. Например, момент-угол-комплекс $\mathcal Z_K=(D^2,S^1)^K$ гомотопически эквивалентен дополению конфигурации координатных подпространств в $\mathbb C^m$, задаваемой комплексом $K$. Если же $K$ является границей симплициального многогранника (или происходит из полного симплициального веера), то $\mathcal Z_K$ является гладким многообразием, на котором имеются весьма интересные некэлеровы комплексные структуры, обобщающие известные серии многообразий Хопфа и Калаби–Экманна.
В докладе мы рассмотрим классы симплициальных комплексов $K$, для которых момент-угол-комплекс $\mathcal Z_K$ имеет гомотопический тип букета сфер или связной суммы произведений сфер. В случае флаговых комплексов получена полная характеризация этих классов, как в алгебраических, так и в комбинаторных терминах. Для букета сфер критерий выгдядит следующим образом: одномерный остов комплекса $K$ должен быть хордовым графом (это понятие играет важную роль в комбинаторных аспектах теории оптимизации на графах). Также явно вычислено количество сфер данной размерности в букете. В случае букета сфер пространства петель на $\mathcal Z_K$ и $\mathrm{DJ}(K)$ гомотопически эквивалентны произведению сфер и петель на сферах; при этом показано, что каноническое отображение $\mathcal Z_K\to \mathrm{DJ}(K)$ описывается итерированными произведениями Уайтхеда двумерных сферических классов.
Доклад основан на совместной работе:
J. Grbic, T. Panov, S. Theriault, J. Wu. Homotopy types of moment-angle complexes. Preprint (2012); arXiv:1211.0873.