Об аналоге теоремы Гильберта о нулях в алгебраической системе $(\mathbb{R}, \min, +)$

В докладе будут рассматриваться многочлены над так называемым мин-плюс полукольцом $(\mathbb R,\oplus,\otimes)$, где $x \oplus y = \min(x,y)$ и $x \otimes y = x+y$. Одночленом над переменными $x_1, \ldots, x_n$ в этом полукольце называется выражение вида $M = c \otimes x_1^{\otimes i_1} \otimes \ldots \otimes x_n^{\otimes i_n}$, где $c$ – действительное число. Многочленом над мин-плюс полукольцом называется сумма одночленов: $f = \bigoplus_i M_i.$ Вектор $x \in \mathbb{R}^n$ называется корнем многочлена $f$, если минимум $\min_i\{M_i(x)\}$ достигается на не менее чем двух различных одночленах $M_i$, то есть существуют различные $j, k$, такие что $M_j(x) = M_k(x) = \min_i\{M_i(x)\}$.
Теорема Гильберта о нулях в классическом случае утверждает, что система многочленов над алгебраически замкнутым полем не имеет корней тогда и только тогда, когда в порожденном ими идеале содержится единичный многочлен. В работе Д. Ю. Григорьева была сформулирована гипотеза об аналоге этой теоремы в мин-плюс полукольце и была доказана эта гипотеза для частного случая многочленов одной переменной. В докладе будет рассказано о доказательстве этой гипотезы в общем случае.
Доклад основан на совместной работе с Д. Ю. Григорьевым.