Перенос массы и потоки мер

Доклад будет посвящен тому, как устроены абсолютно непрерывные кривые в пространствах мер с метрикой Канторовича (иногда не вполне корректно называемой метрикой Вассерштейна) на заданном метрическом пространстве. Сравнительно недавно было доказано, что, например, если в качестве метрики на пространстве мер выбирать квадратичную метрику Канторовича, то такие кривые – это потоки мер, удовлетворяющие классическому уравнению неразрывности, т.е. закону сохранения массы (там, где это уравнение имеет смысл, например, если речь идет о мерах в евклидовом пространстве или на гладком римановом многообразии).
Интерес к этому вопросу связан прежде всего с открытым в последние 15 лет новым методом доказательства существования решений (и даже численными методами для нахождения решений) широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных. Он основан на идее De Giorgi построения кривых наискорейшего спуска для функционалов, заданных в метрических пространствах, и на недавно открытом в теории оптимального переноса массы “дифференциальном исчислении” (Otto calculus) в пространстве мер. В частности, оказывается, что обычное уравнение теплопроводности можно получить как “градиентный поток” функционала энтропии, заданного на мерах.
В докладе будет рассказано о том, какие потоки мер получаются при “дифференцировании” функционалов, заданных на мерах. Будет рассмотрен и смежный вопрос – как “движется” заданная мера под воздействием заданного векторного поля (скажем, поля скоростей движущейся жидкости). В классической ситуации, если речь идет о мерах в евклидовом пространстве и о гладких векторных полях, ответ хорошо известен: векторное поле порождает поток мер, удовлетворяющих уравнению неразрывности, этот же поток задает абсолютно непрерывную кривую в пространстве мер. Такие вопросы естественным образом приводят к рассмотрению случая негладких (скажем, только измеримых) векторных полей, а также метрических пространств без гладкой структуры (векторные поля при этом можно понимать как дифференциальные операторы на пространстве липшицевых функций).