Малообразия

Давным-давно Севери спросил: верно ли что алгебраическое многообразие, гомеоморфное комплексному проективному пространству P^n, единственно? Этот вопрос был решен положительно в нечетномерном случае Хирцебрухом и Кодаирой (в 1957 году), а в четномерном - Яу (в 1977). Оставался вопрос: как близко можно подойти к P^n не становясь им; в частности, что можно сказать про комплексные многообразия с такими же числами Бетти как у P^n? Таковы, например, нечетномерные квадрики. Первый четномерный пример (ложная проективная плоскость - поверхность общего типа, геометрического рода 0, степени 9) был построен Мамфордом в 1979.
В 1978 Бейлинсон показал, что n-мерное проективное пространство обладает интересным гомологическим свойством - производная категория когерентных пучков на нем порождена исключительным набором из (n+1) объекта. Это свойство является определением (гомологического) малообразия. Малообразия изучались Бондалом, Полищуком и Посицельским, а Бондал и Орлов предположили, что все четномерные малообразия - это лишь проективные пространства. Это мы и докажем для n=4, заодно опишем все малообразия меньшей размерности.
Это рассказ по мотивам совместных работ с Меллитом, Шиндером и Кацарковым.