Устойчивые случайные меры и точечные поля

Понятие устойчивости является центральным в теории вероятности: лишь устойчивые распределения возникают во всевозможных предельных теоремах. Определение основано на двух операциях: сложении и умножении на положительные числа, действующих в фазовом пространстве, в котором и принимают значения соответствующие случайные элементы, т.е. на конусе. Однако, операции умножения на любое положительное число не может быть определено обычным образом на дискретных пространствах и заменяется стохастической операцией. Например в конструкции, предложенной Steutel and van Harn (1979), результат умножения натурального числа Х на 0<p<1 есть биномиальная случайная величина Bin(X,p). Соответствующие целочисленные случайные величины носят название дискретно-устойчивых. Мы обобщаем понятие дискретной устойчивости на общие точечные поля, где операция умножения соответствует случайному прореживанию. Соответствующие точечные поля являются пределом в схемах суперпозиции-прореживания полей и являются полями Кокса с устойчивой параметрической мерой. Представление ЛеПажа и кластерное представление приводит нас к определению нового класса полей Сибуйа, характеризующимися толстыми хвостами распределения количества точек. Мы также коснемся вопросов статистического оценивания параметров устойчивых полей и их обобщений.