Стохастическая динамика алгебр Ли скобок Пуассона в окрестности точек негладкости гамильтониана

Предмет доклада — структура решений гамильтоновых систем с непрерывным негладким гамильтонианом. В этом случае решение существует, но необязательно единственно.
Мы изучаем воронки решений, проходящих через точку на стыке трех областей гладкости гамильтониана, основываясь на исследовании эволюции алгебры Ли скобок Пуассона, образующими которой служат ограничения гамильтониана на области гладкости. У этой алгебры имеется обобщенно однородная градуировка, определяемая числом скобок Пуассона, необходимых для получения данной функции.
На проективном пространстве, полученном после разрешения особенности воронки решений, (т.е. на фактор-пространстве гамильтоновой системы по масштабной группе) возникает динамическая система с фрактальными свойствами и стохастической динамикой, определяемой сдвигом Бернулли. Главная часть полученной динамической системы совпадает с системой уравнений Принципа Максимума Понтрягина для модельной задачи оптимизации, аффинной по двумерному управлению с особыми решениями второго порядка. Оптимальный синтез, построенный для модельной задачи, дает структуру решений исходной гамильтоновой системы. Мы вычисляем энтропию и хаусдорфову размерность множества неблуждающих оптимальных точек фактор-системы, которое имеет структуру канторова множества, подобного подкове Смейла. Также мы описываем ее динамику с помощью топологической цепи Маркова и доказываем теорему о структурной устойчивости.
Доклад основан на совместной работе с Л. В. Локуциевским и Р. Хильдебрандом.